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O teorema de Incompletude de Gödel:

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1 O teorema de Incompletude de Gödel: em Seg Jun 16, 2014 6:39 pm

O teorema de Incompletude de Gödel:

A Descoberta # 1 Matemática do século 20

Em 1931, Kurt Gödel deu um golpe devastador para os matemáticos do seu tempo. Em 1931, o jovem matemático Kurt Gödel fez uma descoberta marcante, tão poderosa como qualquer coisa que Albert Einstein desenvolveu. Ele demoliu completamente toda uma classe de teorias científicas. A descoberta de Gödel não se aplica apenas à matemática, mas, literalmente, a  todos os ramos da ciência, da lógica e do conhecimento humano. .Curiosamente, poucas pessoas sabem algo  sobre isso.
O teorema de Incompletude de Gödel diz que:
"Qualquer coisa que você pode desenhar um círculo em volta não pode explicar-se sem referência a algo fora do círculo. - Algo que você tem que assumir, mas não pode provar"
Você pode desenhar um círculo em volta de todos os conceitos em seu livro geometria. Mas eles são todos construídos em 5 postulados de Euclides, que sabemos que são verdade, mas não podem ser provados. Os cinco postulados estão fora do livro, fora do círculo.

Ele provou que nenhuma afirmação pode provar a sua própria verdade.
Você sempre precisa de um ponto de referência externo.O teorema da incompletude foi um golpe devastador para os "positivistas" da época.Eles insistiram que, literalmente, qualquer coisa que você não pode medir ou provar era besteira. Ele mostrou que o seu positivismo foi um absurdo.
Vamos explicar  o que isso significa:
Fé e razão não são inimigos. De fato, o oposto é verdadeiro! Um deles é absolutamente necessário para que o outro existe. Todo o raciocínio, em última análise remonta a fé em algo que você não pode provar.Todos os sistemas fechados dependem  de algo fora do sistema. Você sempre pode desenhar um círculo maior, mas ainda haverá alguma coisa fora do círculo. Raciocínio dentro de um círculo maior de um círculo menor (de "todas as coisas" para "algumas coisas") é um raciocínio dedutivo.argumentos indutivos são construídos de forma a produzir conclusões que provavelmente irão  seguir a partir das premissas. Um forte argumento indutivo oferece evidências  suficientes para fazer a conclusão provável (ou altamente provável).

Aqui está um exemplo de um argumento indutivo:
Os eleitores no estado de São Paulo predominantemente votam  em candidatos petistas , favorecendo-os aos democratas. Portanto, é esperado que o próximo senador do estado de São Paulo na próxima eleição será petista.
1.Todos os homens são mortais 2. Sócrates é um homem 3. Portanto, Sócrates é mortal

O Raciocínio para fora de um círculo menor para um círculo maior (de "algumas coisas" para "todas as coisas") é um raciocínio indutivo.
1. Todos os homens que eu conheço são mortais 2. Portanto, todos os homens são mortais

1. Quando eu soltar objetos, eles caem 2. Portanto, existe uma lei da gravidade que rege todos os objetos em queda
Observe que quando você se afasta do círculo menor para  o círculo maior, você tem que fazer suposições que você não pode provar a 100%. Por exemplo
Você não pode provar a gravidade será sempre consistente em todos os momentos.Você só pode observar que é sempre verdadeiro cada vez que um objeto cai. Quase todas as leis científicas são baseadas em raciocínio indutivo. Toda a ciência parte de uma premissa que o universo é ordenado, lógico e matemático baseado em leis fixas detectáveis. Você não pode provar isso. (Você não pode provar que o sol vai nascer amanhã de manhã também.) Você literalmente tem que levá-lo na fé. Na verdade a maioria das pessoas não sabem  que fora do círculo da ciência existe um círculo filosofico. A ciência se baseia em pressupostos filosóficos que não se podem  provar cientificamente. Na verdade, o método científico não pode provar, apenas pode inferir  (Ciência originalmente veio da idéia de que Deus criou um universo ordenado, que obedece leis detectáveis, fixas. - E por causa dessas leis, ele não teria que constantemente mexer com ela, a fim  que funcionassem.)
Agora, por favor considere o que acontece quando tiramos o maior círculo que  for possível - em torno de todo o universo. (Se há múltiplos universos, estamos desenhando um círculo em torno de todos eles também): Tem que ter algo fora desse círculo. Algo que temos que assumir, mas não podemos  provar. O universo como o conhecemos é finito - matéria finita, de energia finita, espaço finito e tempo finito. O universo (toda a matéria, energia, espaço e tempo) não pode explicar-se. Tudo que é fora do círculo maior é ilimitado. Então, por definição, não é possível desenhar um círculo em torno dele.

Se traçarmos um círculo em volta de toda a matéria, energia, espaço e tempo e aplicar o teorema de Gödel, então nós sabemos o que está fora desse círculo não é matéria, não é energia, não é espaço e não é tempo. Porque toda a matéria e energia estão dentro do círculo. É imaterial. Tudo que é fora do círculo maior não é um sistema - ou seja, não é um conjunto de peças. Caso contrário, podemos desenhar um círculo em torno deles. A única coisa fora do círculo maior é invisível. Qualquer coisa que está fora do círculo maior é uma causa sem causa, porque você sempre pode desenhar um círculo em torno de um efeito. Podemos aplicar o mesmo raciocínio indutivo para a origem da informação: Na história do universo, vemos também a introdução de informações. Ela veio na forma do código genético, que é simbólico e imaterial. A informação tinha que vir de fora, já que a informação não é conhecida por ser uma propriedade intrínseca da matéria, energia, espaço ou tempo. Todos sabemos que os códigos de origem são projetadas por seres conscientes. Portanto, tudo está fora do círculo maior é um ser consciente. Quando adicionamos a  informação para a equação, concluímos que não só é a coisa fora do maior círculo infinito e imaterial,é também auto-consciente.Não é interessante como todas essas conclusões sólidas soam suspeitamente semelhantes  a como os teólogos descrevem  a Deus há  milhares de anos? Talvez por isso não surpreende que 80-90% das pessoas no mundo acredita em algum conceito de Deus. Sim, é intuitivo para a maioria das pessoas. Mas o teorema de Gödel indica também que a fé em Deus é extremamente lógica. Na verdade, é a única posição que podemos tomar e permanecer no reino da razão e da lógica. A pessoa que proclama com orgulho: "Você é um homem de fé, mas eu sou um homem de ciência" não compreende as raízes da ciência ou da natureza do conhecimento!
A incompletude do universo não é prova de que Deus existe. Mas ... é prova de que, a fim de construir um modelo coerente do universo, a crença em Deus não é apenas 100%  lógica, mas é necessária.

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2 Re: O teorema de Incompletude de Gödel: em Seg Fev 22, 2016 11:01 pm

Admin


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O Teorema da Incompletude de Gödel: A Descoberta Matemática Nº 1 do Século XX


Em 1931, Kurt Gödel desferiu um golpe devastador nos matemáticos de sua época
Em 1931, o jovem matemático Kurt Gödel fez uma descoberta-marco, tão poderosa quanto qualquer coisa que Albert Einstein desenvolveu.
A descoberta de Gödel não se aplica somente à matemática, mas literalmente a todos os ramos da ciência, lógica e conhecimento humano. Ela tem verdadeiramente implicações que abalam a Terra.
Estranhamente, poucas pessoas sabem qualquer coisa sobre ela.
Permita-me contar-lhe a história.
Os matemáticos adoram provas. Eles estavam furiosos e chateados por séculos, porque eles eram incapazes de PROVAR algumas das coisas que eles sabiam que era verdade.
Por exemplo: se você estudou geometria no colégio, você fez os exercícios onde você prova todos os tipos de coisas sobre os triângulos, baseado em uma lista de teoremas.
Aquele livro de geometria do colégio é feito sobre os cinco postulados de Euclides. Todos sabem que os postulados são verdadeiros, mas em 2500 anos ninguém imaginou um meio de prová-los.
Sim, parece sim perfeitamente razoável que uma linha possa ser estendida infinitamente em ambas as direções, mas ninguém tem sido capaz de PROVAR isso. Nós só podemos demonstrar que eles são um conjunto de 5 suposições razoáveis e de fato necessárias.
Grandes gênios matemáticos estavam frustrados por mais de 2000 anos porque eles não podiam provar todos os seus teoremas. Havia muitas coisas que eram “obviamente” verdade, mas ninguém conseguia imaginar um meio de prová-los.
No início dos anos 1900, entretanto, um tremendo senso de otimismo começou a crescer nos círculos matemáticos. Os matemáticos mais brilhantes do mundo (como Bertrand Russell, David Hilbert e Ludwig Wittgenstein) estavam convencidos que estavam rapidamente se aproximando de uma síntese final.
Uma “Teoria de Tudo” unificada, que finalmente amarraria todos os pontos soltos. A matemática seria completa, à prova de balas, hermética, triunfante.
Em 1931, este jovem matemático austríaco, Kurt Gödel, publicou um artigo que de uma vez por todas PROVOU que uma única Teoria de Tudo é realmente impossível.
A descoberta de Gödel foi chamada de “O Teorema da Incompletude”.
Se você me der alguns minutos, eu lhe explicarei o que ele diz, como Gödel o descobriu e o que ele significa – em português simples e direto que qualquer um pode entender.
O Teorema da Incompletude de Gödel diz:
“Qualquer coisa em que você pode desenhar um círculo ao redor não pode ser explicada por si mesma sem se referir a algo fora do círculo – algo que você tem que assumir mas não pode provar.”
Expresso em Linguagem Formal:

O teorema de Gödel diz: “Qualquer teoria efetivamente gerada capaz de expressar aritmética elementar não pode ser tanto consistente quanto completa. Em particular, para qualquer teoria formal consistente e efetivamente gerada que prova certas verdades aritméticas básicas, existe uma afirmação aritmética que é verdadeira, mas que não pode ser provada em teoria.”
A Tese de Church-Turing diz que um sistema físico pode expressar aritmética elementar assim como um humano pode, e que a aritmética de uma Máquina de Turing (um computador) não pode ser provado dentro do sistema e é igualmente sujeito à incompletude.
Qualquer sistema físico sujeito a medição é capaz de expressar aritmética elementar. (Em outras palavras, crianças podem fazer matemática contando em seus dedos, uma água fluindo para um balde faz integração e sistemas físicos sempre dão a resposta certa.)
Portanto, o Universo é capaz de expressar aritmética elementar e, tanto como a própria matemática e uma máquina de Turing, é incompleto.
Silogismo:
1. Todos os sistemas computacionais não-triviais são incompletos.
2. O Universo é um sistema computacional não-trivial.
3. Portanto, o Universo é incompleto.
Você pode desenhar um círculo ao redor de todos os conceitos no seu livro de geometria do colégio. Mas eles são todos feitos sobre os 5 postulados de Euclides que claramente são verdade mas que não podem ser provados. Esses 5 postulados estão fora do livro, fora do círculo.
Você pode desenhar um círculo ao redor de uma bicicleta, mas a existência dessa bicicleta depende de uma fábrica que está fora do círculo. A bicicleta não pode explicar a si mesma.
Gödel provou que há SEMPRE mais coisas que são verdadeiras do que você pode provar. Qualquer sistema de lógica ou números que os matemáticos possam trazersempre se baseará em pelo menos umas poucas suposições que não podem ser provadas.
O Teorema da Incompletude de Gödel não se aplica somente à matemática, mas a tudo que está sujeito às leis da lógica. A incompletude é verdade na matemática, e é igualmente verdade na ciência, na linguagem ou na filosofia.
E, se o Universo é matemático e lógico, a Incompletude também se aplica ao Universo.
Gödel criou sua prova começando com o “Paradoxo do Mentiroso” — que é a afirmação:
“Eu estou mentindo.”
“Eu estou mentindo” é autocontraditória, já que, se é verdade, eu não sou um mentiroso, e, se é falsa, eu sou um mentiroso, então é verdade.
Então Gödel, em um dos movimentos mais engenhosos da história da matemática, converteu o Paradoxo do Mentiroso em uma fórmula matemática. Ele provou que qualquer afirmação requer um observador externo.
Nenhuma afirmação sozinha pode completamente provar a si mesma como verdadeira.
O seu Teorema da Incompletude foi um golpe devastador no “positivismo” da época. Gödel provou o seu teorema preto no branco, e ninguém podia discutir com a sua lógica.
Ainda assim, alguns de seus amigos matemáticos foram para o túmulo negando, acreditando que de alguma forma ou outra Gödel deveria certamente estar errado.
Ele não estava errado. Era mesmo verdade. Existem mais coisas que são verdade do que você pode provar.
Uma “teoria de tudo” – seja na matemática, na física ou na filosofia – nunca será encontrada. Porque é impossível.
OK, o que isso então realmente significa? Por que isso é superimportante, e não apenas um factoide geek?
Isso é o que significa:

  • Fé e Razão não são inimigas. Na verdade, o exato oposto é verdade! Uma é absolutamente necessária para que a outra exista. Todo o raciocínio ao final leva de volta à fé em algo que você não pode provar.


  • Todos os sistemas fechados dependem de algo fora do sistema.


  • Você pode sempre desenhar um círculo maior, mas existirá sempre algo fora do círculo.


  • O raciocínio de um círculo maior para um menor é “raciocínio dedutivo.”



Exemplo de um raciocínio dedutivo:
1. Todos os homens são mortais
2. Sócrates é um homem
3. Portanto, Sócrates é mortal


  • O raciocínio de um círculo menor para um maior é “raciocínio indutivo.”



Exemplos de raciocínio indutivo:
1. Todos os homens que conheço são mortais
2. Portanto, todos os homens são mortais

1. Quando eu largo objetos, eles caem
2. Portanto, há uma lei da gravidade que governa objetos de caem

Note que quando você se move do círculo menor para o maior, você tem que fazer suposições que não pode provar 100%.
Por exemplo: você não pode PROVAR que a gravidade sempre será consistente todas as vezes. Você só pode observar que ela é consistentemente verdadeira toda vez. Você não pode provar que o Universo é racional. Você só pode observar que fórmulas matemáticas como E = mc² parecem sim descrever perfeitamente o que o Universo faz.
Praticamente todas as leis científicas estão baseadas no raciocínio indutivo. Estas leis apoiam-se em uma afirmação de que o Universo é lógico e baseado em leis fixas que podem ser descobertas.
Você não pode PROVAR isto. (Você não pode provar que o sol virá amanhã de manhã também.) Você literalmente tem que usar a fé. Na verdade, a maioria das pessoas não sabem que além do círculo da ciência existe um círculo da filosofia. A ciência está baseada em suposições filosóficas que você não pode provar cientificamente. Realmente, o método científico não pode provar, só pode inferir.
(A ciência originalmente surgiu da ideia de que Deus fez um Universo ordenado que observa leis fixas e que podem ser descobertas.)

Agora por favor considere o que acontece quando desenhamos o maior círculo possível – ao redor de todo o Universo.
 (Se existem múltiplos universos, nós estamos desenhando um círculo ao redor deles todos também.):


  • Tem que existir algo fora desse círculo. Algo que nós temos que assumir mas não podemos provar.


  • O Universo como nós conhecemos é finito – matéria finita, energia finita, espaço finito e 13,7 bilhões de anos de idade.


  • O Universo é matemático. Qualquer sistema físico sujeito a medição executa a aritmética. (Você não precisa conhecer matemática para fazer uma adição – você pode usar um ábaco em vez disso e ele lhe dará a resposta certa todas as vezes.)


  • O Universo (toda a matéria, energia, espaço e tempo) não pode explicar a si mesmo.


  • O que quer que esteja fora do maior círculo não tem limites. Por definição, não é possível desenhar um círculo ao redor dele.


  • Se desenharmos um círculo ao redor de toda a matéria, energia, espaço e tempo e aplicar o teorema de Gödel, então saberemos que o que está fora desse círculo não é matéria, não é energia, não é espaço e não é tempo. É imaterial.


  • O que quer que esteja fora do maior círculo não é um sistema – i.e. não é um conjunto de partes. De outra forma poderíamos desenhar um círculo ao redor delas. A coisa fora do maior círculo é indivisível.


  • O que quer que esteja fora do maior círculo é uma causa não-causada, porque você sempre pode desenhar um círculo ao redor de um efeito.



Nós podemos aplicar o mesmo raciocínio indutivo à origem da informação:

  • Na história do Universo, nós também podemos ver a introdução da informação, cerca de 3,5 bilhões de anos atrás. Ela veio na forma do código genético, que é simbólico e imaterial.


  • A informação teve que vir de fora, já que a informação não é conhecida por ser uma propriedade inerente da matéria, energia, espaço ou tempo.


  • Todos os códigos cuja origem conhecemos são projetados por seres conscientes.


  • Portanto, o que quer que esteja fora do círculo maior é um ser consciente.



Em outras palavras, quando adicionamos a informação à equação, concluímos que a coisa fora do maior círculo não só é infinita e imaterial, como também é consciente.
Não é interessante como todas estas coisas soam suspeitamente similar a como os teólogos têm descrito Deus por milhares de anos?
Então é dificilmente surpreendente que entre 80 e 90% das pessoas do mundo acreditam em algum conceito de Deus. Sim, é intuitivo para a maioria do pessoal. Mas o teorema de Gödel indica que é também supremamentelógico. De fato, é a única posição que alguém pode tomar e ficar nos domínios da razão e da lógica.
A pessoa que orgulhosamente proclama: “Você é um homem da fé, mas eu sou um homem da ciência” não entende as raízes da ciência e a natureza do conhecimento!
Interessantemente à parte…
Se você visitar o maior website ateu do mundo, Infidels, na página inicial você encontrará a seguinte declaração:
“O Naturalismo é a hipótese que o mundo natural é um sistema fechado, o que significa que nada que não seja parte do mundo natural o afeta.”
Se você conhece o teorema de Gödel, você sabe que todos os sistemas lógicos devem contar com algo fora do sistema. Então, de acordo com o Teorema da Incompletude de Gödel, o Infidels não pode estar correto. Se o Universo é lógico, ele tem uma causa externa.
Assim, o ateísmo viola as leis a razão e da lógica.
O Teorema da Incompletude de Gödel prova definitivamente que a ciência não pode jamais preencher suas próprias lacunas. Nós não temos escolha a não ser procurar fora da ciência por respostas.
A Incompletude do Universo não é a prova que Deus existe. Mas… É a prova de, para se construir um modelo racional e científico do Universo, a crença em Deus não é somente 100% lógica… ela é necessária.
Os 5 postulados de Euclides não podem ser formalmente provados e Deus também não pode ser formalmente provado. Mas… assim como você não pode construir um sistema coerente de geometria sem os 5 postulados de Euclides, você também não pode construir uma descrição coerente do Universo sem uma Primeira Causa e uma Fonte de ordem.
Assim, fé e ciência não são inimigas, mas aliadas. Tem sido verdade por centenas de anos, mas em 1931 este jovem magricelo matemático austríaco chamado Kurt Gödel provou.
Em nenhuma época na história da humanidade a fé em Deus tem sido mais razoável, mais lógica ou mais amplamente apoiada pela ciência e pela matemática.
Perry Marshall (traduzido para o português por Mateus Scherer Cardoso)
“Sem matemática nós não podemos penetrar profundamente na filosofia.
Sem filosofia nós não podemos penetrar profundamente na matemática.
Sem ambas nós não podemos penetrar profundamente em nada.”

Leibniz
“A matemática é a linguagem pela qual Deus escreveu o Universo”
Galileu


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